Splitting Integratoren für stochastische Schrödinger-Gleichungen

Abstract

Zunächst werden Splitting Integratoren für lineare Systeme stochastischer (Stratonovich-) Differentialgleichungen mit konstanten, nicht kommutierenden Koeffizienten im Hinblick auf starke Konvergenz untersucht. Zu einer gegebenen starken globalen Ordnung solcher Verfahren wird mit Hilfe eines stochastischen Lady-Windermere-Fächers und von Shuffle-Algebra-Strukturen ein minimales System von Bedingungsgleichungen hergeleitet. Anschließend werden Splitting Verfahren der starken globalen Ordnung 1 und 1.5 bestimmt und gezeigt, dass diese auch im Falle zeitabhängiger und ausreichend glatter Koeffizienten mit der entsprechenden Ordnung konvergieren. Darüber hinaus wird bewiesen, dass unter der Annahme diskreter Kommutatorschranken das stochastische (Strang-) Theta-Splitting bzgl. pseudo-spektral diskretisierter stochastischer Schrödinger-Gleichungen von starker globaler Ordnung 1 ist. Diese Konvergenzabschätzungen sind trotz des Auftretens eines Operators mit betragsmäßig beliebig großen Eigenwerten frei von Schrittweiteneinschränkungen und benötigen nur die H^1-Regularität der exakten Lösung. Sämtliche Konvergenzresultate werden durch numerische Computerexperimente untermauert.

At first splitting integrators for linear systems of stochastic (Stratonovich-) differential equations with constant, non-commuting coefficients concerning the strong convergence are explored. By means of a stochastic Lady-Windermere fan and shuffle algebra structures a minimal system of order conditions for a given strong global order of such schemes is derived. Afterwards splitting methods of strong global order 1 and 1.5 are determined, and it is shown, that these methods converge with the corresponding order in the case of time-dependent and sufficiently smooth coefficients, too. Furthermore it is proven, that under the assumption of discrete commutator-bounds the stochastic (Strang-) Theta-Splitting applied to a pseudo-spectral discretized stochastic Schrödinger equation is of strong global order 1. Despite of the occurrence of an operator having arbitrarily large eigenvalues, these estimates are free of step-size restrictions and only need H^1-regularity of the exact solution. All convergence results are confirmed by numerical computer experiments.