Entwicklungsgleichungen höherer Ordnung und dynamische Grenzwertprobleme

Abstract

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Cauchyprobleme höherer Ordnung $(ACP_n)$. Dazu führen wir in Kapitel 1 Operatoren, sogenannte Existenzfamilien, ein, die einen weiteren Banachraum Y in X abbilden. Damit erhalten wir eine grosse Flexibilität und können Existenz und stetige Abhängigkeit der Lösungen von ($ACP_n$) und seiner inhomogenen Version beweisen. Analog werden Eindeutigkeitsfamilien definiert zur Charakterisierung der Eindeutigkeit der Lösungen. Die Verbindung dieser beiden Konzepte gestattet die Verallgemeinerung aller bisher bekannten Resultate zur Lösung von ($ACP_n$). In Kapitel 2 werden dann multiplikative und additive Störungsresultate vom Desch-Schappacher-Typ für ($ACP_n$) bewiesen und angewandt. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir dynamische Randbedingungen für Cauchyprobleme erster und zweiter Ordnung. Kapitel 3 presentiert eine Lösung für ein Problem, das A. Favini, G. R. Goldstein, J. A. Goldstein and S. Romanelli [34] gestellt haben bezüglich des gemischten Problems für Wellengleichungen mit verallgemeinerten Wentzell Randbedingungen. Im vierten Kapitel wird der zugehörige nichtautonome Fall betrachtet. Hier erhalten wir nicht nur Existenz- und Eindeutigkeitsresultate sondern auch präzise Aussagen zur Regularität der Lösungen. Schliesslich enthalten Kapitel 5 und 6 eine einheitliche Behandlung gemischter Probleme (Anfangs-Randwert Probleme) mit dynamischen Randbedingungen für parabolische und hyperbolische oder allgemeine Gleichungen zweiter Ordnung. Wir beschäftigen uns direkt mit Problemen zweiter Ordnung, ohne sie auf erste Ordnung zu reduzieren. Es stellt sich heraus, dass diese direkte Methoden starke Lösungen von erwünschter Regularität liefern und sogar allgemeine Theoreme ermöglichen. Eine Reihe von ganz neuen Resultaten werden bewiesen. Die Ergebnisse werden dann auf konkrete partielle Differentialgleichungen angewandt.

In the first part of this work we are concerned with the Cauchy problem for higher order evolution equations $(ACP_n)$ in a Banach space X. In Chapter 1 we introduce a new operator family of bounded linear operators from another Banach space Y to X, called an existence family for $(ACP_n)$, to study the existence and continuous dependence on initial data of the solutions of $(ACP_n)$ and its inhomogeneous version $(IACP_n)$, and obtain some basic results in a quite general setting. Chapter 2 is intended to establish Desch-Schappacher type multiplicative and additive perturbation theorems for existence families for $(ACP_n)$ (with $A_1=...=A_{n-1}=0$). In the second part of the work, we investigate the dynamic boundary value problems of first or second order. Chapter 3 presents a solution to an open problem put forward by A. Favini, G. R. Goldstein, J. A. Goldstein and S. Romanelli [34], concerning the mixed problem for wave equations with generalized Wentzell boundary conditions. Chapter 4 concerns with the nonautonomous heat equation with generalized Wentzell boundary conditions. In Chapter 5 we exhibit a unified treatment of the mixed initial boundary value problem for second order (in time) parabolic linear differential equations in Banach spaces whose boundary conditions are of a dynamical nature. Results regarding existence, uniqueness, continuous dependence and regularity of classical and strict solutions are established. Moreover, two examples are given as samples for possible applications. In the final Chapter 6 we continue to deal with the mixed initial boundary value problem for complete second order (in time) linear differential equations in Banach spaces, in which time-derivatives occur in the boundary conditions. General wellposedness theorems are obtained (for the first time) which are used to solve the corresponding inhomogeneous problems. Examples of applications to PDEs are also presented.