Kruemmungsabschaetzungen fuer degenerierte nichtlineare geometrische Evolutionsgleichungen

Abstract

Wir betrachten in dieser Arbeit n-dimensionale, schwach konvexe Hyperflaechen des R^(n+1), n>1, auf denen fuer ein $2leq kleq n$ das (k-1)-te elementarsymmetrische Polynom der Hauptkruemmungen positiv ist, und deren Evolution entlang ihrer Normalen mit dem Quotienten des k-ten durch das (k-1)-te elementarsymmetrische Polynom als Geschwindigkeit. Obwohl es sich bei diesen Kruemmungsfluessen um voll nichtlineare, degeneriert parabolische Gleichungen handelt, zeigen wir mit Hilfe eines neuen strikten Maximumprinzips fuer die Geschwindigkeit, dass dieses Anfangswertproblem wohlgestellt ist, und man zumindest fuer kurze Zeiten eine eindeutige glatte Loesung erhaelt.

In this paper we consider n-dimensional, weakly convex hypersurfaces in R^(n+1), n>1, on which the (k-1)st elementary symmetric polynomial of the principal curvatures is positive for some $2leq kleq n$. We study the evolution of these hypersurfaces along their unit normal with the quotient of the k-th and the (k-1)st elementary symmetric polynomial taken as speed. Although these curvature flows are fully nonlinear, degenerate parabolic equations, we prove a new strictly maximum principle for the speed in order to show, that the initial value problem is well-posed and that there is a unique smooth solution at least on some short time interval.