Über minimale p-Grade primitiver Permutationsgruppen

Abstract

Es sei G eine auf der endlichen Menge $Omega$ transitive Permutationsgruppe und p ein Primteiler der Ordnung von G. Dann bezeichnet man die kleinste Anzahl an Punkten, die von einem von 1 verschiedenen p-Element bewegt werden, als minimaler P-Grad $m_p(G)$ von G. In meiner Arbeit werden die minimalen p-Grade verschiedener primitiver Permutationsgruppen berechnet und unter Verwendung der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen gezeigt, dass - abgesehen von einem klassifizierten Ausnahmetyp - für primitive Permutationsgruppen G die Abschätzung $m_p(G) geq frac{p-1}{p+1} cdot |Omega|$ gilt. Ferner werden einschränkende Bedingungen für primitive Permutationsgruppen G und Primteiler p von |G| mit der Eigenschaft $m_p(G) < frac{p-1}{p} cdot |Omega|$ bestimmt. Die Dissertation umfasst insbesondere die Klassifikation sämtlicher primitiver Wirkungen von Lie-Gruppen G $in L(q)$, die einen zu q teilerfremden Primteiler p mit $m_p(G) < frac{p-1}{p} cdot |Omega|$ besitzen.

Suppose G is a transitive permutation group operating on a finite set $Omega$ and let p be a prime divisor of |G|. The smallest number of points moved by a non-identity p-Element is called the minimal p-degree of G and is denoted $m_p(G)$. In this work the minimal p-degrees of various primitive permutation groups are determined. In addition, using the classification of the finite simple groups, it is shown, that with one classified exception - $m_p(G) geq frac{p-1}{p+1} cdot |Omega|$ holds, if G is primitive. Furthermore conditions on primitive permutation groups G and prime divisors p of |G| are derived, which ensure that $m_p(G) < frac{p-1}{p} cdot |Omega|$ holds. In particular the thesis comprises the classification of all primitive actions of Lie-groups G $in$ L(q) and all prime divisors p coprime to q with $m_p(G) < frac{p-1}{p} cdot |Omega|$.