Attraktoren mit Flare-Dynamik in Systemen fern vom Gleichgewicht

Abstract

Eine neuartige Klasse von Attraktoren in der Disziplin der dynamischen Systeme wird definiert und eingehend untersucht. Attraktoren können in chemischen Reaktionssystemen auftreten, wenn sich diese weit entfernt vom thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Nahe am thermodynamischen Gleichgewicht können sie jedoch nicht eintreten, da dann die jeweilige Rückreaktion im gleichen Maße stattfinden muss. Ein zuvor offenbar noch nicht klassifiziertes zeitliches dynamisches Verhalten ist das hier beschriebene „Flare-Verhalten“ in nichtlinearen dynamischen Systemen. Wie in der Astrophysik bereits üblich, steht der Begriff „Flare“ für einen plötzlich unvermittelt auftretenden kurzzeitigen Übergang eines dynamischen Systems von einem fließgleichgewichtsnahen zu einem fließgleichgewichtsfernen Zustand und wieder zurück. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden sowohl kontinuierliche als auch diskrete dynamische Systeme mit flarehaftem Verhalten vorgestellt. Man erhält unter Anwendung eines definierten Syntheseprinzips dabei stets Phasenraumschaubilder und Zeitreihendarstellungen von einer charakteristischen Morphologie. Die Untersuchung diskreter dynamischer Systeme ist in den Naturwissenschaften vor allem deshalb von Bedeutung, weil Phasenraumdarstellungen kontinuierlicher dynamischer Flüsse (mathematisch durch eine Differentialgleichung darstellbar), wie wir sie bei physikalischen und chemischen Systemen in der Regel vorfinden, im sogenannten „Poincaré-Schnitt“ ein diskretes dynamisches System mit einer um eins verminderten Dimension darstellen. Die meisten der untersuchten Beispiele gehören in diese Klasse. In einem abschließenden Kapitel wird darüberhinaus noch ein konservatives (volumenerhaltendes) dynamisches System mit flarehaften Trajektorien vorgestellt. Eine Beziehung zwischen „Poincaré-Rekurrenzen“ und flarehaftem Verhalten wird empirisch nachgewiesen.

A new class of attractors is presented and examined in the theory of dynamical systems. Attractors can arise in chemical reaction systems when they are in a far-from-equilibrium state. Nonlinear dissipative dynamical systems can arise in open chemical reaction systems. At least one linear reaction step is needed as a necessary condition. Autocatalysis, which always involves a nonlinear quadratic inverse reaction, and substrate inhibition form examples. Close to equilibrium, autocatalysis becomes ineffective since the back reaction becomes equally strong so that no net effect remains. An example for a nontrivial far-from-equilibrium system is the well-known Belousov-Zhabotinsky reaction which shows both temporal and spatial self-organization. An apparently novel type of temporal dynamical behavior in nonlinear dissipative systems is “flaring“ behavior. Like in astrophysical observations, the word “flare“ refers to a suddenly and unpredictably occurring, short-lived transition of a dynamical system from a near-quasi-steady-state behavior towards a potentially very high, transitory, peak-like behavior. In the present thesis, both continuous and discrete dynamical systems with flare-type behavior are investigated. When using a well-defined synthetic design principal, one always obtains phase space pictures and time sequences of a well-defined morphology. In science, discrete dynamical systems are especially important because the flows produced by continuous systems of physical of chemical origin can always be reduced to such kind of a system by way of a “Poincaré cross-section“, which reduces the dimensionality of the system by one. Most of the examples presented belong into this class. In a final section, in addition also a conservative (volume-preserving) discrete dynamical system is presented which falls into the same class. A connection between Poincaré reccurences and flaring-type behavior is empirically established.