Klassifikationen fahnentransitiver Steiner Designs

Abstract

In den letzten Jahrzehnten wurden mit großem Interesse Steiner t-Designs mit

gewissen Transitivitätseigenschaften klassifiziert. Beispielsweise

charakterisierte W. M. Kantor alle 2-fach punkttransitiven und F. Buekenhout

et al. alle fahnentransitiven Steiner 2-Designs. Beide Resultate benötigen die

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Jedoch ist die Klassifikation fahnentransitiver Steiner 3-Designs ein noch immer

ungelöstes Problem und das der 2-fach punkttransitiven erscheint als hoffnungslos.

In der vorliegenden Dissertation werden wir unter Zuhilfenahme der Klassifikation

der endlichen 2-fach transitiven Permutationsgruppen alle fahnentransitiven

Steiner 3-Designs mit kleinen Blöcken klassifizieren.

Im ersten Kapitel legen wir die Grundlagen: Kombinatorische Eigenschaften von

Designs, die Klassifikation der endlichen 2-fach transitiven Permutationsgruppen

und den Satz von Zsigmondy. Im darauf folgenden Kapitel beweisen wir, dass für

Steiner t-Designs mit t größer als 2, die Fahnentransitivität der

Automorphismengruppe bereits deren 2-fache Punkttransitivität impliziert. Im

dritten Kapitel klassifizieren wir alle fahnentransitiven Steiner 3-Designs mit

Blockgröße 4, eine Verallgemeinerung eines Resultats von H. Lüneburg. Im

vierten Kapitel geben wir schließlich die vollständigen Klassifikationen

fahnentransitiver Steiner 3-Designs mit den Blockgrößen 5,6 und 7 an.

In the last decades, there has been a great interest in classifying

Steiner t-designs with certain transitivity properties. For example,

W. M. Kantor characterized all point 2-transitive and F. Buekenhout et al.

all flag-transitive Steiner 2-designs. Both results depend on the

classification of the finite simple groups.

However, the classification of flag-transitive Steiner 3-designs is

a still open and longstanding problem and that of point 2-transitive seems

to be hopeless.

In this dissertation we use the classification of finite 2-transitive

permutation groups to classify all flag-transitive Steiner 3-designs with

small blocks.

In Chapter 1 we lay the foundations: combinatorial properties of designs, the

classification of the finite 2-transitive permutation groups and Zsigmondy's

theorem. In the following chapter, we prove that for Steiner t-designs with t

greater than 2, the flag-transitivity of the automorphism group implies its

point 2-transitivity. In Chapter 3, we classify all Steiner 3-designs with block

size 4, generalizing a result of H. Lüneburg. In Chapter 4, we finally give the

complete classifications of flag-transitive Steiner 3-Designs with block sizes

5,6 and 7.